密码分析游记

1968年蒙斯基和瓦什尼策发现了一种p进上同调理论。虽然这个理论有几个局限性，但是它与当今的研究仍然相关。

令X为任意一条光滑仿射平面曲线，由f(x,y)=0f(x,y) = 0截出。 如果f∈Fp[x,y]f \in \mathbf{F}_p[x, y]，那么我们可以选一个p进提升f~∈Zp[x,y]\widetilde{f} \in \mathbf{Z}_p[x, y]。 咱们考虑一下坐标环

A=Zp[x,y]/(f~) 。A = \mathbf{Z}_p[x, y]/(\widetilde f)\,\text{。}

为了构造XX的上同调，也许首先可以考虑取A⊗QpA \otimes \mathbf{Q}_p的德拉姆上同调。 但是如果你这样做，会遇到一些问题。比方说，弗罗贝尼乌斯自同态不一定能够提升。 比如Zp[x,y]/((1+px)y−1)\mathbf{Z}_p[x, y]/((1 + px)y - 1)上没有弗罗贝尼乌斯自同态。 蒙斯基和瓦什尼策利用幂级数来解决这个问题。 令Zp⟨x,y⟩†\mathbf{Z}_p\langle x, y \rangle^\dag为如下的“过收敛幂级数代数”：

Zp⟨x,y⟩†={∑i,j≥0ai,jxiyj ∣ ∃ρ>1 使得 ∣ai,j∣pρi+j→0 当 i+j→∞} 。\mathbf{Z}_p\langle x, y\rangle^\dag = \left\{\sum_{i, j \ge 0} a_{i, j} x^i y^j~\Big|~\exists \rho > 1~\text{使得}~|a_{i, j}|_p \rho^{i + j} \to 0~\text{当}~i + j \to \infty\right\}\,\text{。}

那么A†=Zp⟨x,y⟩†/(f~)A^\dag = \mathbf{Z}_p\langle x, y \rangle^\dag / (\widetilde f)就合适了。 蒙斯基-瓦什尼策上同调就是A†⊗QpA^\dag \otimes \mathbf{Q}_p的德拉姆上同调。 也就是说，HMW∙(X)H^\bullet_{\mathrm{MW}}(X)是如下的上链复形的上同调：

0→A†⊗Qp→dΩA†1⊗Qp→ΩA†2⊗Qp→⋯ 。0 \to A^\dag \otimes \mathbf{Q}_p \overset{\mathrm{d}}{\to} \Omega_{A^\dag}^1 \otimes \mathbf{Q}_p \to \Omega_{A^\dag}^2 \otimes \mathbf{Q}_p \to \cdots\,\text{。}

这里，ΩA†1=(A†dx+A†dy)/(df~)\Omega_{A^\dag}^1 = (A^\dag \mathrm{d}x + A^\dag \mathrm{d}y) / (\mathrm{d}\widetilde f)是A†A^\dag在Zp\mathbf{Z}_p上的连续凯勒微分模。 映射d\mathrm{d}定义为dg=∂g/∂x dx+∂g/∂y dy\mathrm{d}g = \partial g / \partial x \,\mathrm{d}x + \partial g / \partial y \,\mathrm{d} y，还有

ΩA†k=⋀kΩA†1 。\Omega^k_{A^\dag} = \bigwedge^k \Omega^1_{A^\dag}\,\text{。}

特别地，因为(∂f~/∂x,∂f~/∂y)=A†(\partial \widetilde f/\partial x, \partial \widetilde f/\partial y) = A^\dag，所以ΩA†2=A†/(∂f~/∂x,∂f~/∂y) (dx∧dy)=0\Omega^2_{A^\dag} = A^\dag/(\partial \widetilde f/\partial x, \partial \widetilde f/\partial y)\,(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y) = 0。 对于k≥2k \ge 2，我们有ΩA†k=0\Omega^k_{A^\dag} = 0，所以上述的上链复形就是

0→A†⊗Qp→A†dx+A†dy(df~)⊗Qp→0 。0 \to A^\dag \otimes \mathbf{Q}_p \to \frac{A^\dag \mathrm{d}x + A^\dag \mathrm{d}y}{(\mathrm{d}\widetilde f)} \otimes \mathbf{Q}_p \to 0\,\text{。}

例如当f~(x,y)=y−x\widetilde f(x, y) = y - x，我们得到

0→Qp⟨x⟩†→Qp⟨x⟩†dx→0 。0 \to \mathbf{Q}_p\langle x \rangle^\dag \to \mathbf{Q}_p\langle x \rangle^\dag\mathrm{d}x \to 0\,\text{。}

所以，HMW0(A1)=QpH^0_{\mathrm{MW}}(\mathbf{A}^1) = \mathbf{Q}_p和HMW1(A1)=Qp⟨x⟩†dx/d(Qp⟨x⟩†)=0H^1_{\mathrm{MW}}(\mathbf{A}^1) = \mathbf{Q}_p\langle x \rangle^\dag \mathrm{d}x / \mathrm{d}(\mathbf{Q}_p\langle x \rangle^\dag) = 0。 最后一个等号成立是因为如果∑n≥0anxn\sum_{n \ge 0} a_n x^n是过收敛，那么∑n≥0ann+1xn+1\sum_{n \ge 0} \frac{a_n}{n + 1} x^{n + 1}也过收敛：

∣ann+1∣prn+1≤(n+1)∣an∣prn+1=r(n+1)(rρ)n∣an∣p ρn→0 ，\Bigl|\frac{a_n}{n + 1}\Bigr|_p r^{n + 1} \le (n + 1) |a_n|_p r^{n + 1} = r(n + 1) \left(\frac{r}{\rho}\right)^n |a_n|_p\,\rho^n \to 0\,\text{，}

其中1<r<ρ 1 < r < \rho\,。还有，因为d(∑n≥0ann+1xn+1)=(∑n≥0anxn)dxd\bigl(\sum_{n \ge 0} \frac{a_n}{n + 1} x^{n + 1}\bigr) = \bigl(\sum_{n \ge 0} a_n x^{n}\bigr)\mathrm{d}x，所以每个一次微分形式都是恰当形式。 这都有道理，因为仿射直线是可缩的。

#同调代数 #P进数